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Multiplicación y Factorización de Expresiones Algebráicas

Ley distributiva de la multiplicación

Para números reales, tenemos:

$a(b+c) = ab + ac$ $a(b-c) = ab - ac$

Para polinomios, multiplicamos cada uno de los términos

Temas de la próxima clase:

• Expresiones Racionales

• Solución de Ecuaciones Polinomiales

• Solución de Ecuaciones

Ejemplos

• $3(x+1) = 3x +3$

• $x(x-2) = x^2 - 2x$

• $(x+3)(x-2) = x^2 -2x +3x - 6 = x^2 + x -6$

Fórmulas especiales

• Diferencia de cuadrados $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

• Cuadrado de una suma $(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2$

• Cuadrado de una diferencia $(a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2$

Con GeoGebra

Expandir se puede automatizar usando el software GeoGebra. Para instalarlo siga las instrucciones aquí.

Factorizar

Se usa el comando Factor. Por ejemplo:

 Factor(x^2-6x+9)

Da como resultado $(x-3)^2$.

Expandir

Se usa el comando Expand. Por ejemplo:

 Expand((3x-8)^2)

Da como resultado: $9x^2-48x+64$

Ejercicios

Expandir (sin 💻)

• $x(4x+6)$

• $(2x - y) y$

• $(x+1)(x-3)$

• $(3x+1)^2$

• $(x^2 -2x +1)^2$

Expandir (con 💻)

• $(x^2 -2x +1)^2$

• $(x^3-2x^2+4)(3x^2-x+2)$

• $(x^2 -4)^3$

Factorizar (sin 💻)

• $x^3+2x^2$

• $4x^3 +16x^2+8x$

• $4x^2+6x$

Factorizar (con 💻)

• $(x^3+1)\sqrt{x+1} - (x^3+1)^2\sqrt{x+1}$

• $\sqrt{(x+1)^3}+ \sqrt{(x+1)^5}$

Expresiones Racionales

Se escriben como el cociente de dos funciones polinomiales: $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ Su dominio es el conjunto de los reales $x$, para los cuales $Q(x) \neq 0$.

Ejemplo Función $f(x) = \frac{1}{x}$

El numerador es la función constante $P(x) = 1$, el denominador la función lineal $Q(x) = x$.

Álgebra de Expresiones Racionales

La “cancelación” no es una operación

Algunos textos y docentes hablan de ese último proceso como una “cancelación”. Para mí esa palabra confunde, ya que no existe la operación matemática. Las operaciones válidas son las vistas: suma, resta, multiplicación y división.

Lo que llaman cancelación es una división cuando hay factores comunes; que es lo que habíamos hecho en aritmética.

Ejemplo:

$\frac{16}{14} = \frac{2 \times 8}{2 \times 7} = \frac{8}{7} \approx 1.1428$

Recordar que si hay una suma en el numerador también hay un paréntesis implícito (no lo escribimos), es decir se realiza primero la suma y luego si la división. Por ejemplo:

$\frac{1+3}{1+7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ejercicios

Waner 0.4, hacer el 1 al 3 sin 💻 y del 13 al 16 con 💻.

Solución de Ecuaciones Polinomiales

Función Polinomial

Se pueden escribir como una suma de constantes multiplicadas por potencias de $x$. El siguiente es un polinomio de grado $n$:

$P(x) = {\color{red}a_0} + {\color{Green}a_1} x + {\color{Blue}a_2} x^2 + ... + a_n x^n$

• El exponente más alto de $x$ es llamado el grado del polinomio.

• Si el grado es 1 también se llama ecuación lineal.

Ejemplos: Funciones polinomiales

• $f(x) = 3$

  $f(x) = \overbrace{ {\color{red}3}}^{{\color{red}a_0}} + \overbrace{ {\color{Green}0}}^{ {\color{Green}a_1}}x$

• $g(x) = 2x^2 + x$

  $g(x) = \overbrace{{\color{red}0}}^{a_0} + \overbrace{{\color{Green}1}}^{a_1}x + \overbrace{{\color{Blue}2}}^{a_2}x^2$

Solución de Ecuaciones

Cero de una función

Si $f(x)$ es una función en $x$, entonces los valores $a$ que hacen que: $f(a) = 0$ son los ceros de la función.

Los ceros de la función $f$ son también la solución de la ecuación $f(x)=0$, es decir los valores de $x$ que hacen que la función tome el valor de 0.

Ecuaciones lineales

O de la forma $ax+b=0$, simplemente se despeja la $x$.

Ejercicio:

Encuentre los ceros de la función lineal $f(x) = 3x+1$

Fórmula del Bachiller

Dado el polinomio: $P(x) = ax^2 + bx + c,$ los ceros de $P(x)$ son los valores $x$ en los reales tales que:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$

Es posible que existan dos ceros, un cero, o que no haya ningún cero. Si llamamos $x_+$ al valor obtenido al sumar la raíz, y $x_-$ el obtenido al restar la raíz, el polinomio $P(x)$ se puede factorizar como:

$P(x) = (x-a_-)(x-a_+)$

Ecuaciones cúbicas

Existe una fórmula. No la vamos a ver en este curso. También hay un método llamado “división larga”. Tampoco lo vamos a ver.

En el caso de que no haya término independiente, se puede factorizar una $x$, y por lo tanto los ceros serán $0$ y las raíces de lo que queda (que es cuadrático).

Si no hay término lineal ni cuadrático es posible aislar la $x$ y despejar.

Usaremos la tecnología para resolver las ecuaciones cúbicas en los demás casos.

Ejercicios

Del libro Waner, sección 0.5.

Sin ayuda del 💻, los ejercicios del 1 al 4, del 13 al 16. Con ayuda del 💻, los ejercicios del 24 al 27 y del 31 al 33.