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Multiplicación y Factorización de Expresiones Algebráicas

Función Polinomial

Se pueden escribir como una suma de constantes multiplicadas por potencias de $x$. El siguiente es un polinomio de grado $n$:

$P(x) = {\color{red}a_0} + {\color{Green}a_1} x + {\color{Blue}a_2} x^2 + ... + a_n x^n$

• El exponente más alto de $x$ es llamado el grado del polinomio.

• Si el grado es 1 también se llama ecuación lineal.

Ejemplos: Funciones polinomiales

• $f(x) = 3$

  $f(x) = \overbrace{ {\color{red}3}}^{{\color{red}a_0}} + \overbrace{ {\color{Green}0}}^{ {\color{Green}a_1}}x$

• $g(x) = 2x^2 + x$

  $g(x) = \overbrace{{\color{red}0}}^{a_0} + \overbrace{{\color{Green}1}}^{a_1}x + \overbrace{{\color{Blue}2}}^{a_2}x^2$

Ley distributiva de la multiplicación

Para números reales, tenemos:

$a(b+c) = ab + ac$ $a(b-c) = ab - ac$

Para polinomios, multiplicamos cada uno de los términos

Temas de la próxima clase:

• Expresiones Racionales

• Solución de Ecuaciones Polinomiales

• Solución de Ecuaciones

Ejemplos

• $3(x+1) = 3x +3$

• $x(x-2) = x^2 - 2x$

• $(x+3)(x-2) = x^2 -2x +3x - 6 = x^2 + x -6$

Fórmulas especiales

• Diferencia de cuadrados $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

• Cuadrado de una suma $(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2$

• Cuadrado de una diferencia $(a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2$

Con GeoGebra

Expandir se puede automatizar usando el software GeoGebra. Para instalarlo siga las instrucciones aquí.

Factorizar

Se usa el comando Factoriza (o Factor si la interfaz está en inglés). Por ejemplo:

 Factoriza(x^2-6x+9)

Da como resultado $(x-3)^2$.

Desarrollar (Expandir)

Se usa el comando Desarrolla (o Expand, si la interfaz está en inglés). Por ejemplo:

 Desarrolla((3x-8)^2)

Da como resultado: $9x^2-48x+64$

Ejercicios

Desarrollar (sin 💻)

• $x(4x+6)$

• $(2x - y) y$

• $(x+1)(x-3)$

• $(3x+1)^2$

• $(x^2 -2x +1)^2$

Desarrollar (con 💻)

• $(x^2 -2x +1)^2$

• $(x^3-2x^2+4)(3x^2-x+2)$

• $(x^2 -4)^3$

Factorizar (sin 💻)

• $x^3+2x^2$

• $4x^3 +16x^2+8x$

• $4x^2+6x$

Factorizar (con 💻)

• $(x^3+1)\sqrt{x+1} - (x^3+1)^2\sqrt{x+1}$

• $\sqrt{(x+1)^3}+ \sqrt{(x+1)^5}$

Expresiones Racionales

Se escriben como el cociente de dos funciones polinomiales: $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ Su dominio es el conjunto de los reales $x$, para los cuales $Q(x) \neq 0$.

Ejemplo Función $f(x) = \frac{1}{x}$

El numerador es la función constante $P(x) = 1$, el denominador la función lineal $Q(x) = x$.

Álgebra de Expresiones Racionales

La “cancelación” no es una operación

Algunos textos y docentes hablan de ese último proceso como una “cancelación”. Para mí esa palabra confunde, ya que no existe la operación matemática. Las operaciones válidas son las vistas: suma, resta, multiplicación y división.

Lo que llaman cancelación es una división cuando hay factores comunes; que es lo que habíamos hecho en aritmética.

Ejemplo:

$\frac{16}{14} = \frac{2 \times 8}{2 \times 7} = \frac{8}{7} \approx 1.1428$

Recordar que si hay una suma en el numerador también hay un paréntesis implícito (no lo escribimos), es decir se realiza primero la suma y luego si la división. Por ejemplo:

$\frac{1+3}{1+7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ejercicios

Waner 0.4, hacer el 1 al 3 sin 💻 y del 13 al 16 con 💻.

Solución de Ecuaciones

Cero de una función

Si $f(x)$ es una función en $x$, entonces los valores $a$ que hacen que: $f(a) = 0$ son los ceros de la función.

Los ceros de la función $f$ son también la solución de la ecuación $f(x)=0$, es decir los valores de $x$ que hacen que la función tome el valor de 0.

Ecuaciones lineales

O de la forma $ax+b=0$, simplemente se despeja la $x$.

Ejercicio:

Encuentre los ceros de la función lineal $f(x) = 3x+1$

Fórmula del Bachiller

Dado el polinomio: $P(x) = ax^2 + bx + c,$ los ceros de $P(x)$ son los valores $x$ en los reales tales que:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$

Es posible que existan dos ceros, un cero, o que no haya ningún cero. Si llamamos $x_+$ al valor obtenido al sumar la raíz, y $x_-$ el obtenido al restar la raíz, el polinomio $P(x)$ se puede factorizar como:

$P(x) = (x-a_-)(x-a_+)$

Ecuaciones cúbicas

Existe una fórmula. No la vamos a ver en este curso. También hay un método llamado “división larga”. Tampoco lo vamos a ver.

En el caso de que no haya término independiente, se puede factorizar una $x$, y por lo tanto los ceros serán $0$ y las raíces de lo que queda (que es cuadrático).

Si no hay término lineal ni cuadrático es posible aislar la $x$ y despejar.

Usaremos la tecnología para resolver las ecuaciones cúbicas en los demás casos.

Ejercicios

Del libro Waner, sección 0.5.

Sin ayuda del 💻, los ejercicios del 1 al 4, del 13 al 16. Con ayuda del 💻, los ejercicios del 24 al 27 y del 31 al 33.

Tarea

• Hacer más ejercicios de las secciones de Waner que estaban propuestas (sección 0.4 y 0.5). Recomendé que lo hicieran en grupos de estudiantes y que verificaran usando el software. 
• Lectura de las “Notas de clase” página 6 a la página 16