Table of contents

Diferentes conjuntos de números

Los números pueden pertenecer a alguno de los siguientes conjuntos:

Enteros

Se simbolizan por el símbolo $\mathcal{Z}$. Son los números $0,1,2,...$, incluyendo los negativos. Históricamente surgen de la necesidad de contar.

El conjunto de los números enteros no tiene fin, por lo tanto decimos que es de tamaño infinito.

Fraccionarios

Se simbolizan por el símbolo $\mathcal{Q}$. Surgen de la necesidad de representar la división de enteros. Por ejemplo, el concepto de “la mitad” o “la tercera parte” de algo.

Como representan “fracciones”, fueron usados para medir. Por ejemplo se habla de “media pulgada”, “un cuarto de libra”, etc. Ahora, técnicamente hay un número infinito de fraccionarios entre cualquier dos números enteros.

La expansión decimal de los fraccionarios es finita, o infinita periódica. El conjunto de los fraccionarios incluye a los enteros.

Números Reales

Se simbolizan por el símbolo $\mathcal{R}$. Surgen de la necesidad de resolver ecuaciones para las que la respuesta no es un número entero o fraccionario. El conjunto de los reales incluye enteros y fraccionarios.

Irracionales

Son los números reales cuya expansión no es periódica.

Ejercicios

1. Clasifique los números relacionados con las siguientes situaciones en los conjuntos que correspondan.

• El valor del presupuesto general de la nación
• El valor que representa la mitad de la carretera entre Buga y Cali
• El valor que representa la distancia diagonal de un triángulo de lado 1

2. Dibuje la recta real entre 0 y 10. Represente en la recta real los siguientes valores:

• $25/3$
• $70/7$
• 5
• $\pi$

Intervalos

Orden de las operaciones

• Primero, calcule las expresiones que estén entre paréntesis, de adentro hacia afuera.
• Para las fracciones, calcule primero numerador y denominador de manera independiente antes de hacer la dividisión.

En las computadoras / calculadoras

Precisión y aproximación

Se llama “incertidumbre” a la diferencia entre el valor real de una cantidad y el valor medido. En las ciencias aplicadas, como la economía, usualmente hay un nivel de incertidumbre. Por ejemplo, para calcular el valor de la inflación las oficinas estadísticas (el DANE) hace un sondeo de precios, es decir una encuesta. Para saber el cambio real del valor de precios debería hacer un censo (preguntar a todos). Se estima que la diferencia entre el valor real (el que daría el censo) y el estimado por el sondeo son similares. Y que si se aumenta el tamaño de la muestra se mejora el valor de la cantidad medida.

Los valores calculados en un computador o una calculadora también tienen un valor de incertidumbre asociada, el número de cifras decimales que se reporta. Aunque algunos casos (si la respuesta es un entero) el valor es exacto.

Precisión

Es el número de cifras significativas que se reportan de un cálculo. Depende del contexto. Reporte por lo menos 4 cifras después del punto decimal.

Aproximación

Si no va a reportar toda la expansión decimal de un número, aproxime. Aproximar es diferente a cortar. Ejemplo:

$3.124789 \approx 3.1248$

Ejercicios

Trabajaremos del libro de Waner, ejercicios 0.1, pg 7.

• De los ejercicios 1 al 24: elija 3, calcule el resultado de la expresión matemática. Sin calculadora
• De los ejercicios del 25 al 50: elija 3, indique cómo se escribirían en calculadora/computadora

Exponentes y Radicales

Exponentes enteros

Exponentes enteros positivos

Si $a$ es un número real y $n$ un entero positivo, $a^n$ es el número que se obtiene de multiplicar repetidamente a por sí mismo $n$ veces. Ejemplo:

$3^2 = 3 \times 3 = 9$

Exponentes enteros negativos

Si $a$ es un número real y $n$ un entero negativo, $a^n$ es el número que resulta de dividir uno entre $a^{|n|}$. Ejemplo:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8}$

Si la base es 0

Si el exponente es 0, el resultado es 1, salvo si la base es 0:

• $a^0 = 1$, si $a\neq 0$
• $0^0$ no está definido

Identidades de los exponentes

1. $a^m a^n = a^{m+n}$
2. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
3. $(a^m)^n = a^{m \times n}$
4. $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$

Radicales

Raíz Cuadrada

Si $a$ es un número positivo, la raíz cuadrada de $a$ es el número que elevado al cuadrado da $a$. Se representa por: $\sqrt{a}$. Por ejemplo: $\sqrt{9} = 3$, porque $3^2=9$

Raíz Cúbica

La raíz cúbica de $a$ es el número que elevado al cubo da $a$. Se calcula como $\sqrt[3]{a}$. Por ejemplo, $\sqrt[3]{8} = 2$, porque $2^3=8$.

Radicales y potencias

Los radicales se pueden escribir como un tipo especial de potencia.

• Para la raíz cuadrada se tiene: $\sqrt{a} = a^{1/2}$

• Para la raíz cúbica: $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$

• Para la raíz enésima: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

Simplificar una expresión con radicales y exponentes

Se trata de agrupar los términos comunes. Ejemplo:

$\frac{(a^4)^{1/2}}{a} = \frac{a^{4/2}}{a} = \frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

Resolver ecuaciones con exponentes

Resolver una ecuación algebráica es encontrar el valor (o valores) que hacen que la igualdad sea válida. Por ejemplo, para la ecuación:

$x + 3 = 0$

el único valor de $x$ que hace que la igualdad sea válida es $x=-3$.

Resolvamos las ecuaciones:

• $x^3 + 8 =0$
• $x^2-\frac{1}{2} = 0$
• $x^{3/2} - 64=0$

Ejercicios

Trabajaremos del libro de Waner, ejercicios 0.2, pg 16. Elija un ejercicio de cada sección.

• De los ejercicios 1 al 16, evaluar las expresiones.
• De los ejercicios 17 al 30, simplificar cada expresión.
• De los ejercicios 31 al 36, convertir a forma racional.
• De los ejercicios 103 al 116, resolver la ecuación.

Temas de la próxima clase:

• Expresiones Racionales

• Solución de Ecuaciones Polinomiales

• Solución de Ecuaciones