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Distribuciones de Probabilidad y Estimación de Parámetros

Distribución Binomial

${\color{blue} Contento, \ pg.\ 176}$ ${\color{red} González,\ pgs. 264 \ a\ 271}$

Ejemplo: aves marcadas

Suponga que en una población de aves aproximadamente el 5% de los animales han sido marcados. Se capturan 2 especímenes de esas aves (por ejemplo, para pesarlos querríamos que estén marcados; o para marcarlos, luego querríamos que no estén marcados).

1. ¿Cuál es la probabilidad de que, atrapando 1, 1 esté marcado?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que, atrapando 2, 2 estén marcados?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que, atrapando 2, 1 esté marcados?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que, atrapando 2, 0 esté marcados?

Respuesta

1. Cómo el 5% están marcados, la probabilidad de que uno elegido al azar esté marcado es de 0.05

2. Aquí construimos la siguiente tabla:

Experimento Binomial

• Consta de $n$ pruebas idénticas
• Cada prueba tiene sólo dos resultados: Éxito o Fracaso
• La probabilidad de éxito es $p$, no cambia entre pruebas. La probabilidad de fracaso es $q=1-p$.
• Las pruebas son independientes
• La variable aleatoria es: $X$ # de éxitos

Función Binomial de Probabilidad

Si una variable aleatoria es un experimento binomial $x\sim B(n;p)$, su función de distribución de probabilidad es:

$P(x) =\begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x q^{n-x} \ \ x=0,1,...,n$

Se requiere saber $n$ y $p$.

Promedio y Varianza de una Binomial

Si $x\sim B(n;p)$ entonces:

$\mu = n \cdot p$

$\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$

Ejemplo

Un experimento binomial tiene 4 repeticiones idénticas. La probabilidad de éxito es de $0.7$. ¿Cuál es la probabilidad de que haya respectivamente 0,1,2,3,4 éxitos?

Podríamos construir un diagrama de árbol:

Por ejemplo para $x=4$ sólo hay una rama, con $P=0.7\cdot0.7\cdot0.7\cdot0.7 = 0.7^4 \cdot 1 = 0.7^4 \cdot 0.3^0 = 0.2401$

Ahora, el cálculo es el de una binomial con $n= 4$, y $p= 0.7$, con $P(x) =\begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x q^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x q^{n-x}$

Luego:

• $P(4) = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} (0.7)^4 (0.3)^{0} = 0.2401$

• $P(3) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} (0.7)^3 (0.3)^{1} = \frac{4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 }{3\cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} \cdot (0.7)^3 (0.3)^{1} = 0.4116$

• $P(2) = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} (0.7)^2 (0.3)^{2} = \frac{4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 }{2\cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0.7)^2 (0.3)^{2} = 0.2646$

• $P(1) = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} (0.7)^1 (0.3)^{3} = \frac{4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 }{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0.7)^1 (0.3)^{3} = 0.0756$

• $P(0) = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} (0.7)^0 (0.3)^{4} = \frac{4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 }{1\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0.7)^0 (0.3)^{4} = 0.0081$

Y $P(4)+P(3)+P(2)+P(1)+P(0) = 1$, $\mu = n\cdot p = 4 \cdot 0.7 = 2.8$, y $\sigma^2 = n\cdot p \cdot q = 4\cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.84$.

Ejemplo ${\color{blue} Contento \ pg. \ 178}$

La solución se puede encontrar las hojas de cálculo, usdando las funciones propias de éstos sistemas. Ahora, es una binomial con $n= 4$, y $p= 0.7$, con $P(x) = \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix} p^x q^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x q^{n-x}$

Cálculo en el software

Usando Hojas de Calculo, por ejemplo libreoffice, la función es binom.distr(X,trials,SP,C), donde X es el número de éxitos, trials el número de repeticions, SP la probabilidad y C indica si es acumulativo o no. En este caso:

• $P(0)$: binom.distr(0,4,0.7,0) $=0.0081$
• $P(1)$: binom.distr(1,4,0.7,0) $=0.0756$
• $P(2)$: binom.distr(2,4,0.7,0) $=0.2646$
• $P(3)$: binom.distr(3,4,0.7,0) $=0.4116$
• $P(4)$: binom.distr(4,4,0.7,0) $=0.2401$

Usando Python, la función es binom.pmf de la librería scipy.stats. Por ejemplo para el primer valor tenemos:

import scipy.stats as st
st.binom.pmf(0,4,0.7)

El software devuelve el valor $0.008100000000000005$.

Usando R, la función es dbinom. Aquí la instrucción sería:dbinom(0,4,0.7), y se obtiene como respuesta el valor $0.0081$.

Una vez tenemos todos los valores, podemos graficarlos:

Ejercicios

• “Cuatro jueces…” ${\color{blue} Contento \ pg. \ 180}$
• ${\color{red} González, \ ejercicios \ 5.1,\ página \ 271}$

Distribución de Poisson

${\color{red}\ González,\ pg.\ 275\ a\ 278}$

${\color{blue} Contento,\ pg.\ 185}$

• Los eventos son infrecuentes
• Los eventos dependen de otra cantidad (como distancia, área, volúmen, tiempo)
• La prbobabilidad por unidad de esa cantidad es constante. (densidad de probabilidad?)
• El número de eventos en un intervalo es independiente de los que ocurren en otros.

Ejemplos

• Árboles caídos por $km^2$
• Vehículos en una intersección cada minuto
• Clientes que asisten a una oficina cada hora.

En las Hojas de cálculo

La distribución de Poisson $P(x,\mu)$ se calcula usando POISSON.DIST(x,lambda,cumm). x el # de éxitos, lambda es $\mu$, y cumm un valor lógico que vale $0$ si no es la distribución acumulada, $1$ si es.

Densidad de probabilidad Poisson

La función de probabilidad de una variable aleatoria distribuida como Poisson es:

$P(x) = \frac{e^{-\mu} \mu^x}{x!}$

$x=0,1,2,...$

Donde $\mu$ es el promedio de ocurrencias fenómeno cada unidad. La variable se distribuye como Poisson: $X\sim P(\mu)$

Promedio y Varianza

Si $X\sim P(\mu)$ es una variable aleatoria distribuida Poisson, entonces $E(X) = V(X) = \mu = \sigma^2$.

Ejercicios

En Khan Academy:

Recursos Adicionales