Conceptos estadísticos básicos

Video de ésta sección: https://youtu.be/45V4GQMG75c

• Universo: Conjunto de ‘Individuos’ Objeto de Investigación. Ejemplos:

  • Ríos en una vertiente
  • Habitantes de una zona.
  • Registros de datos de una entidad

• Población: Conjunto de mediciones de una variable en cada ‘individuo’. Su tamaño es $N$. Ejemplos:

  • Caudal en punto medio. Longitud de los tramos navegables. Número de especies aprovechables
  • Último grado cursado. Lugar de vivienda. Edad.
  • Fecha y hora. Longitud en palabras. Tipo de solicitud.

• Observaciones: Cada uno de los valores de la variable que se registra para uno de los individuos. Se representa por: $\{X_1,X_2,...,X_N\}$

• Muestra: Subconjunto representativo de la población. Sus características son similares a las de la población. Su tamaño es $n < N$.

• Parámetro: Característica de la población de referencia. Ejemplos:

  • promedio $\mu$
  • proporción $\pi$
  • total
  • varianza $\sigma^2$
  • distribucionalidad.

  Usualmente son desconocidos, por lo tanto son objeto de investigación.

• Estadística (estadígrafo): Cálculos sobre los datos de la muestra, que estiman los parámetros de la población. Ejemplos:

  • promedio muestral $\overline X$
  • varianza muestral $S^2$
  • proporción muestral $p$ .

Medidas de tendencia central

La presentación de ésta sección está en línea en: https://youtu.be/45V4GQMG75c

Promedio Aritmético

El promedio de una muestra:

$\overline X = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$ (sobre la muestra $n < N$ )

Lo que significa sumar los valores de la muestra y dividir sobre el tamaño de la muestra.

El promedio en una población:

$\mu = \frac{\sum_{i=1}^N X_i}{N}$ (sobre la población )

Ejemplo. Supongamos que tenemos los siguientes datos:

   datos=np.array([2, 4, 3, 4, 4, 1, 1, 6, 2, 2, 6, 3, 6, 3, 4, 1, 4, 6, 4, 5, 5, 1,
   5, 4, 2, 1, 6, 3, 5, 6, 5, 6, 3, 5, 3, 6, 6, 1, 1, 2, 6, 3, 4, 2,
   4, 3, 3, 4, 4, 6])

Podemos averiguar su suma como:

  sum(datos)

Lo que nos dá el número 186. Como son 50 datos, el promedio sería:

  186/50

Lo que da el número 3.72. (más en la nota a pié¹)

Si tomamos una muestra, digamos de los valores:

  muestra=np.array([1,5,6,6,6,3,6,1])

El promedio sería la suma de esos valores dividio en el tamaño de la muestra. Hágalo! Nos da $\overline{X} = 4.25$.

Mediana

$\widetilde{X}$: Aproximadamente la mitad de las observaciones son mayores a la mediana.

$\widetilde{X} = \begin{cases} X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & \text{ n impar } \\ \frac{X_{\left(\frac{n}{2}\right)} + X_{\left(\frac{n}{2} + 1\right)}}{2} & \text{ n par } \\ \end{cases}$

Organizamos los datos:

   datosordenados=np.array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3,
   3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 
   5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6,6, 6, 6, 6, 6, 6])

Como el tamaño es par, se toma el promedio de “los dos valores de la mitad”. En este caso sería el que está en la posición 25 y el que está en la posición 26. Como ambos son 4, la cuenta es $(4+4)/2 = 4$. También se puede hacer en el software ².

Moda

Es el dato que se repite más veces en una muestra.

Medidas de variabilidad

Videos de ésta sección en: https://youtu.be/TnChXWqAQN0

Varianza

Varianza de la población:

$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2$

Varianza de la muestra:

$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2$

En una hoja de cálculo.

Calculamos primero la resta de cada variable con el promedio y el cuadrado de ese valor:

La suma de la tercera columna da 35.5, y al dividir entre 7 obtenemos una varianza de 5.0714.

También lo hacemos en el software³.

Ejercicio

Construya una hoja de cálculo en la que haga estos cálculos para la muestra que tiene valores: [1,1,3,5,6,6,6,30]

Desviación estándar

Desviación estándar de la población

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Desviación estándar de la muestra

$S= \sqrt{S^2}$

Python

Tomamos el valor de la varianza y sacamos raíz

   ((sum((datos-datos.mean())**2))/len(datos))**0.5

Numpy

Se usa el comando np.std. Para la poblacional no es necesario ningún parámetro.

   	  np.std(datos)

Para la muestral se usa el parámetro ddof=1.

   	  np.std(datos,ddof=1)

Coeficiente de variación

Tamaño de la dispersión relacionada con el tamaño del promedio.

$CV = \frac{S}{\overline X} \cdot 100$

Medidas de variabilidad

Videos de ésta sección en: https://youtu.be/TnChXWqAQN0

• Varianza

  • Varianza de la población:

    $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2$

  • Varianza de la muestra:

    $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2$

• Desviación estándar

  • Desviación estándar de la población

    $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

  • Desviación estándar de la muestra

    $S= \sqrt{S^2}$

  • Coeficiente de variación: Tamaño de la dispersión relacionada con el tamaño del promedio.

    $CV = \frac{S}{\overline X} \cdot 100$

También se puede calcular en software⁴.

Ejercicios

Tarea: Khan Academy

Esta tarea consiste en realizar los siguientes ejercicios de la plataforma Khan Academy. No cuenta como evaluación del curso.

• Identificar la población y la muestra
• Calcular la media
• Calcular la mediana
• Desviación estándar de la muestra
• La varianza
• Estimar la Media y la Mediana en Visualizaciones de Datos

Contento 2019

Usando los datos de la Tabla 2.6 de Contento 2019, calcule las medidas de tendencia central y variabilidad y reproduzca los resultados de la Tabla 2.7.

Notas a Pie