Modelos estadísticos

Experimento aleatorio

Procesos que aunque tengan siempre las mismas condiciones iniciales llevan a una observación o medición (numérica o categórica) que varía. Es opuesto a un sistema determinista, en el que si siempre se tiene las mismas condiciones iniciales se lleva a la misma observación o medición (Contento, pg.111). Son experimentos aleatorios:

• La medición de las características morfológicas sobre diferentes individuos de una misma especie lleva a valores diferentes, así todos los individuos tengan las mismas características (por ejemplo longitud de los peces de un criadero, estatura de estudiantes en un curso).

• Si se le hace un cuestionario a un conjunto de personas, que en principio tengan características similares (digamos, todas de la misma edad, identidad de género, nivel educativo, etc), puede haber variabilidad en las respuestas.

• El resultado de un juego de azar, como los dados, las cartas, el tablero de galton, puede llevar a una situación final diferente así se repita siempre el experimento en las mismas condiciones.

Ejemplos de experimentos deterministas:

• El resultado de una operación matemática en una calculadora

• Algunos experimentos físicos como las atracciones de los parques de diversiones, la velocidad en un deporte como la natación o el ciclismo, el alcance en un deporte como el lanzamiento de javalina.

• Algunas características genéticas, sobre todo en especies más sencillas y si no hay posibilidad de mutaciones.

Probabilidad

La probabilidad es una medida de la incertidumbre de un proceso (Contento, 2018). Hay diferentes tipos o enfoques de probabilidad.

• Clásica: si un experimento aleatorio tiene $n$ formas igualmente posibles y mutualmente excluyentes y $n_A$ resultan en la situación $A$, la probabilidad de a, $p(A)$ se calcula así: $p(A) = \frac{n_A}{n} = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

  Ejemplos: dados, diagrama de árbol, etc. (Contento, pg. 112)

• Como frecuencia relativa: si un experimento se repite $n$ veces bajo las mismas condiciones, y $n_B$ de las veces resultan en la situación B, entonces la probabilidad de B es:

  $P(B) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n_B}{n}$

  (Diez, 2019, pg. 82)

• Subjetiva: es el grado de creencia de la posible ocurrencia de una situación particular.

Función de Probabilidad

Si $X$ es una variable discreta, la función de probabilidad para X es: $f(x) = P(X=x)$ con $x\in \Omega$. Se lee “la probabilidad de que X tenga el valor x”. Debe cumplir:

• $f(x) \geq 0$
• $\sum_{X \in \omega} f(x) = 1$.

Probabilidad de eventos independientes.

Cuando dos eventos son independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es la multiplicación de las probabilidades individuales

Ejemplo

Una persona tiene cegera de colores, no los diferencia. Tiene 10 camisetas, de las cuales 2 son azules, 6 son grises y 2 restantes son verdes. Tiene también 5 pantalones, 3 de ellos grises y 2 azules

1. ¿Cuál es la probabilidad de que, de un pantalón elegido al azar elija el gris? ¿ que no elija gris?

2. ¿Cuásl es la probabilidad de que, de una camiseta elegida al azar, elija la verde? ¿que no elija verde?

3. De todas las posibles formas de vestirse, cuál es la probabilidad de que vaya de camiseta verde y pantalón gris?

Respuesta

Si son:

Entonces:

1. $P(p_{g}) = \frac{n_{pg}}{n_p} = \frac{2}{5} = 0.4$

   $P(\overline{p_{g}}) = 1- P(p_{g}) = 0.6$

2. $P(c_{v}) = \frac{n_{cv}}{n_c} = \frac{2}{10} = 0.2$

   $P(\overline{c_{v}}) = 1- P(c_{v}) = 0.8$

3. El número posible de combinaciones es $5\times 10$. De esas opciones $2\times 2$ son de camiseta verde y pantalón gris. Luego la cuenta que se hace es: $P(p_{pg\ y \ cv}) = P(p_{pg}) \times P(p_{cv}) = \frac{n_{pg}}{n_p} \times \frac{n_{cv}}{n_c} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{10} = 0.4 \times 0.2 = 0.08$

Ejercicios

En Khan Academy:

• Probabilidad con variables aleatorias discretas

• Desarrolla distribuciones de probabilidad

• Individuos, variables y datos cuantitativos y categóricos

En OpenIntro Statistics (Diez), ejercicio 3.6, pg. 83. https://leanpub.com/os

Recursos Adicionales

• https://youtu.be/j1AuMi7GWfA

• https://youtu.be/d2M0qv-UMzA

• De la pagina 81 a la 89 del texto OpenIntro Statistics

• Del libro del profesor contento de las páginas 121 a 124.

• Desarrollo axiomático de la probabilidad